INSTYTUT MATEMATYKI

Uniwersytet Przyrodniczo-Humanistyczny w Siedlcach

kostka Cantora

 

W roku 2016, na 12. Sympozjum z Topologii Ogólnej i jej Związków ze Współczesną Analizą oraz Algebrą, które odbyło się w Pradze w Czechach, dr hab. Eliza Wajch, prof. UPH w Siedlcach, wygłosiła referat pt. „Metrizable Cantor cubes that fail to be compact in some models for ZF’’, pokazując między innymi nowe twierdzenie o metryzowalności produktów bez pewnika wyboru i stawiając trudny problem otwarty: czy istnieje model dla ZF, w którym jakaś metryzowalna kostka Cantora może być jednocześnie zwarta i nie mieć bazy przeliczalnej? Kostki Cantora to bardzo ważne obiekty matematyczne ale, niestety, nadal za mało zbadane w ZF.

Treść wspomnianego referatu została umieszczona w pokonferencyjnym artykule Elizy Wajch „Quasi-metrizability of products in ZF and equivalences of CUT(fin)”, który ukazał się w specjalnym wydaniu „Topology and Its Applications” (TOPOSYM2016) w 2018 roku. Wkrótce recenzentem tego artykułu dla Zentralblatt Math. został Profesor Eleftherios Tachtsis z Uniwersytetu Egejskiego na greckiej wyspie Samos. W swojej recenzji podkreślił ważność zaprezentowanych wyników Elizy Wajch, ale wskazał też nieznane autorce powiązania niektórych jej rezultatów z jego własnymi pracami oraz pracami Profesora Kyriakosa Keremedisa, również z Uniwersytetu Egejskiego na Samos. Recenzja Eleftheriosa Tachtsisa znacząco uzupełnia wiedzę związaną z wynikami Elizy Wajch. Szkoda, że w Polsce tej brakującej wiedzy nie można było uzupełnić. Eleftherios Tachtsis uznał problem postawiony przez Elizę Wajch za niezmiernie intrygujący, ale również bardzo trudny. Skonsultował się w tej sprawie ze znakomitym matematykiem amerykańskim Paulem Howardem, współautorem z J. E. Rubin bardzo ważnego monumentalnego dzieła "Consequences of the axiom of choice’’ opublikowanego w 1998 roku.  Po licznych rozmowach,  Eleftherios Tachtsis, wspólnie z Paulem Howardem,  zafascynowani wynikami i problemem Elizy Wajch,  postanowili podjąć próbę  rozwiązania jej problemu.  Mając duże doświadczenie w pracy nad modelami permutacyjnymi, doszli do wniosku, że żaden ze znanych modeli raczej nie da rozwiązania tego problemu. Przystąpili zatem do konstruowania całkiem nowego modelu permutacyjnego, w którym zdanie „Istnieje metryzowalna zwarta kostka Cantora, która nie ma bazy przeliczalnej’’ jest prawdziwe.  Po trudnych kilkumiesięcznych zmaganiach, późną wiosną 2019, Paul Howard i Eleftherios Tachtsis odnieśli wielki sukces, udanie opisując swoją nową konstrukcję modelu permutacyjnego, w  którym intrygujące dla nich zdanie Elizy Wajch jest prawdziwe, uzyskując przy okazji kilka dodatkowych ważnych informacji powiązanych z problemem oraz twierdzeniem metryzacyjnym Elizy Wajch.  Niezmiernie ważny artykuł Paula Howarda i Elftheriosa Tachtsisa  pt. „On metrizability and compactness of certain products without the Axiom of Choice", zawierający rozwiązanie problemu Elizy Wajch, ukazał się w „Topology and Its Applications’" w styczniu  2021 roku. W międzyczasie, w dużej mierze z powodu twierdzenia metryzacyjnego Elizy Wajch i jej problemu,  wywiązała się  owocna współpraca Elizy Wajch z Kyriakosem Keremedisem i Eleftheriosem Tachtsisem, połączona z wyprawą naukową Elizy Wajch na Samos do Profesora Keremedisa. Efekty tej współpracy to wiele nowych twierdzeń oraz odkrycie nieznanych wcześniej ważnych zastosowań wyników Elizy Wajch i wspaniałego nowego modelu Howarda-Tachtsisa.

 

Pragniemy serdecznie pogratulować Paulowi Howardowi i Eleftheriosowi Tachtsisowi bardzo udanego i ciekawego rozwiązania problemu Elizy Wajch, a Profesorom Kyriakosowi Keremedisowi i Elftheriosowi Tachtsisowi gorąco podziękować za wspaniałą współpracę z Elizą Wajch i niezmiernie udane zorganizowanie jej wizyty na Samos.

 

Źródło ilustacji wykorzystanej w artykule to:  https://blogs.ams.org/visualinsight/2014/02/15/cantors-cube/